Question

11．命题p：?x∈R，e^x-mx=0，命题q：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-mx²-2x在[-1，1]递减，若p∨（-q）为假命题，则实数m的取值范围为（　　）

• A． [-3，e）
• B． [-3，0]
• C． [0，$\frac{1}{2}$]
• D． [0，e）

Answer 1

分析 首先对函数g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，利用函数的导数求出函数的极值，进一步利用f（x）=$\frac{1}{3}$x³-mx²-2x在[-1，1]递减，求出m的范围，最后利用若p∨（-q）为假命题，求出p假q真，进一步求出结果．

解答 解：命题p：?x∈R，e^x-mx=0，
则：m=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
设g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$
则：g′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}}{{x}^{2}}$
当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）为单调递增函数．
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）为单调递减函数．
当x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）为单调递减函数．
所以：当x=1时函数g（x）取极小值，g（1）=e．
所以：函数g（x）的值域为：（-∞，0）∪[e，+∞）．
即：m∈（-∞，0）∪[e，+∞）．
命题q：f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-mx²-2x在[-1，1]递减，
所以：f′（x）=x²-2mx-2
由于函数f（x）在[-1，1]递减，
所以：$\left\{\begin{array}{l}f′（-1）≤0\\ f′（1）≤0\end{array}\right.$，
解得：$-\frac{1}{2}≤m≤\frac{1}{2}$，
由于p∨（-q）为假命题，
则：p假q真，
所以：$\left\{\begin{array}{l}0≤m≤e\\-\frac{1}{2}≤m≤\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得：$0≤m≤\frac{1}{2}$
故选：C

点评 本题考查的知识要点：利用函数的导数求函数的单调区间和极值，主要考查学生的应用能力．