Question

6．已知P（m，n）是函授f（x）=e^x-1图象上任一于点
（Ⅰ）若点P关于直线y=x-1的对称点为Q（x，y），求Q点坐标满足的函数关系式
（Ⅱ）已知点M（x₀，y₀）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=$\frac{|A{x}_{0}+B{y}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$，当点M在函数y=h（x）图象上时，公式变为$\frac{|A{x}_{0}+Bh（{x}_{0}）+C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$，请参考该公式求出函数ω（s，t）=|s-e^x-1-1|+|t-ln（t-1）|，（s∈R，t＞0）的最小值．

Answer 1

分析 （1）采用代入法，即先设出Q（x，y）的坐标，然后用x，y表示出已知的点P的坐标，然后带入到已知的解析式中即可．
（2）由已知的公式，将ω（s，t）表示出来，然后将问题转化为函数的最值问题来解．

解答 解：（1）因为点P，Q关于直线y=x-1对称，所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-n}{x-m}=-1}\\{\frac{y+n}{2}=\frac{x+m}{2}-1}\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=y+1}\\{n=x-1}\end{array}\right.$．又n=e^m-1，所以x=1-e^（y+1）-1，即y=ln（x-1）．
（2）ω（s，t）=|s-e^x-1-1|+|t-ln（t-1）-1|
=$\sqrt{2}×（\frac{|s-{e}^{x-1}-1|}{\sqrt{2}}+\frac{|t-ln（t-1）-1|}{\sqrt{2}}）$，
令u（s）=$\frac{|s-{e}^{x-1}-1|}{\sqrt{2}}，v（t）=\frac{|t-ln（t-1）-1|}{\sqrt{2}}$．
则u（s），v（t）分别表示函数y=e^x-1，y=ln（t-1）图象上点到直线x-y-1=0的距离．
由（1）知，u_min（s）=v_min（t）．
而f′（x）=e^x-1，令f′（s）=1得s=1，所以u_min（s）=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
故$ω（s，t）=\sqrt{2}×（\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}）=2$．

点评 本题一方面考查了点之间的轴对称问题，同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后再利用函数的思想求解．体现了解析几何与函数思想的结合．