Question

17．如图，有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC的长为a米（a为常数），现在斜边AB选一点D，将△ACD沿CD折起．翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2），设△BCD的面积为S，点A到直线CD的距离为d，实践证明，遮阳效果y与S，d的乘积Sd成正比，比例系数为k，（k为常数，且k＞0）
（1）设∠ACD=θ，试将S表示为θ的函数
（2）当点D在何处时，遮阳效果最佳（即y取得最大值）

Answer 1

分析 （1）△BCD中，利用正弦定理求出CD，再求△BCD的面积；
（2）y=kSd=$\frac{k{a}^{3}sinθcosθ}{2（sinθ+cosθ）}$，换元确定函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：（1）△BCD中，$\frac{a}{sin（θ+45°）}=\frac{CD}{sin45°}$，
∴CD=$\frac{a}{\sqrt{2}sin（θ+45°）}$，
∴S=$\frac{1}{2}BC•CD•$sin∠BCD=$\frac{\sqrt{2}{a}^{2}cosθ}{4sin（θ+45°）}$，0°＜θ＜90°；
（2）d=asinθ，
y=kSd=$\frac{k{a}^{3}sinθcosθ}{2（sinθ+cosθ）}$，
令sinθ+cosθ=t，则t∈（1，$\sqrt{2}$]，sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴y=$\frac{k{a}^{3}}{4}$（t-$\frac{1}{t}$）在区间（1，$\sqrt{2}$]上单调递增，
∴t=$\sqrt{2}$时，y取得最大值，此时$θ=\frac{π}{4}$，
即D在AB中点时，遮阳效果最佳．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理的运用，考查函数的最值，确定函数关系是关键．