Question

8．在抛物线y²=2x上求一点P，使其到直线l：x+y+4=0的距离最小，并求最小距离．

Answer 1

分析 设P（x，y）为该抛物线上任一点，利用点到直线间的距离公式可求得点P到直线x+y+4=0的距离d的关系式，并求得d_min．

解答 解：设P（x，y）为该抛物线上任一点，那么y²=2x，
则点P到直线的距离d=$\frac{|x+y+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\frac{1}{2}{y}^{2}+y+4|}{\sqrt{2}}$
=$\frac{|（y+1）^{2}+7|}{2\sqrt{2}}$≥$\frac{7}{2\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当y=-1时，取“=”．
此时点P（$\frac{1}{2}$，-1）．
即抛物线上的点P的坐标为P（$\frac{1}{2}$，-1）时，
点P到直线x+y+4=0的距离最短，最小值为$\frac{7\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查点到直线间的距离公式与两点间的距离公式，属于中档题．