Question

20．已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d=-$\frac{1}{2}$，若直线x+y-3a_n=0和直线2x-y+2a_n-1=0的交点M在第四象限，则a_n=$-\frac{1}{2}n+\frac{3}{2}（n=3，4）$．

Answer 1

分析 联立直线方程求得M的坐标，再由M在第四象限求出a_n的范围，由已知写出等差数列的通项公式，然后求出n的值，则答案可求．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3{a}_{n}=0}\\{2x-y+2{a}_{n}-1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}_{n}+1}{3}}\\{y=\frac{8{a}_{n}-1}{3}}\end{array}\right.$，
∵M在第四象限，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{n}+1}{3}＞0}\\{\frac{8{a}_{n}-1}{3}＜0}\end{array}\right.$，解得$-1＜{a}_{n}＜\frac{1}{8}$．
由等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d=-$\frac{1}{2}$，得${a}_{n}=-\frac{1}{2}n+\frac{3}{2}$，
∴$-1＜-\frac{1}{2}n+\frac{3}{2}＜\frac{1}{8}$，解得$\frac{11}{4}＜n＜5$，
又n∈N^*，∴n=3，4．
∴${a}_{n}=-\frac{1}{2}n+\frac{3}{2}（n=3，4）$．
故答案为：$-\frac{1}{2}n+\frac{3}{2}（n=3，4）$．

点评 本题考查了两直线的交点问题，考查等差数列的通项公式，是基础题．