Question

15．已知抛物线y=x²-1上的一定点B（-1，0）和两个动点P、Q，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-3]∪[1，+∞）
• B． [-3，1]
• C． （-∞，-3]∪[1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 先设P，Q的坐标，利用BP⊥PQ，可得斜率之积为-1，从而可得方程，再利用方程根的判别式大于等于0，注意检验t=-1的情况，即可求得Q点的横坐标的取值范围．

解答 解：设P（t，t²-1），Q（s，s²-1）
∵BP⊥PQ，
∴$\frac{{t}^{2}-1}{t+1}$•$\frac{（{s}^{2}-1）-（{t}^{2}-1）}{s-t}$=-1，
即t²+（s-1）t-s+1=0，
∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点，
∴必须有△=（s-1）²+4（s-1）≥0．
即s²+2s-3≥0，
解得s≤-3或s≥1．
由t=-1，代入t²+（s-1）t-s+1=0，可得s=$\frac{3}{2}$，
此时P，B重合，则有s≠$\frac{3}{2}$．
∴Q点的横坐标的取值范围是 （-∞，-3]∪[1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，+∞）．
故选C．

点评 本题重点考查取值范围问题，解题的关键是利用两直线垂直的条件：斜率之积为-1构建方程，再利用方程根的判别式大于等于0进行求解．