Question

7．在△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，BC=3，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

分析 由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{3}{sin\frac{π}{3}}$．化为a+b+c=3+$2\sqrt{3}（sinB+sinC）$=$2\sqrt{3}sin（C+\frac{π}{3}）$+3，再利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{3}{sin\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{3}$．
∴$\frac{a+b+c}{\frac{\sqrt{3}}{2}+sinB+sinC}=2\sqrt{3}$，
∴a+b+c=3+$2\sqrt{3}（sinB+sinC）$
=$3+2\sqrt{3}[sin（\frac{2π}{3}-C）+sinC]$
=$2\sqrt{3}sin（C+\frac{π}{3}）$+3，
∵$0＜C＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}＜C+\frac{π}{3}＜π$，
∴$0＜sin（C+\frac{π}{3}）≤1$，
∴△ABC的周长∈$（3，2\sqrt{3}+3]$．

点评 本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．