Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}+2k（1-{a}^{2}），x≥0}\\{{x}^{2}-2（1-{a}^{2}）x+（a-4）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，a∈R，若对任意非零实数x₁，存在非零实数x₂（x₁≠x₂），使得f（x₂）=f（x₁），则实数k的最小值（　　）

• A． $\frac{15}{2}$
• B． $-\frac{15}{2}$
• C． $-\frac{2}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 利用函数的连续性，列出方程，通过方程有实数解，得到不等式求解k的范围即可．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2k（1-{a}^{2}），x≥0}\\{{x}^{2}-2（1-{a}^{2}）x+（a-4）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，a∈R，
则x=0时，f（x）=2k（1-a²）．对任意非零实数x₁，存在非零实数x₂（x₁≠x₂），使得f（x₂）=f（x₁），
∴函数必须是连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等．
（a-4）²=2k（1-a²），a∈R，所以k≠0，
即（2k+1）a²-8a+16-2k=0有实数解．
∴△=8²-4（2k+1）（16-2k）≥0．
整理得：2k²-15k≥0，解得k≥$\frac{15}{2}$．或k＜0，当k＜0时，k没有最小值．
故选：A．

点评 本题考查分段函数的应用，函数的连续性的应用，考查分析问题解决问题的能力．