Question

12．若$\frac{1}{b+c}$、$\frac{1}{a+c}$、$\frac{1}{a+b}$成等差数列，求证：a²、b²、c²成等差数列．

Answer 1

分析 根据题意和等差中项的性质列出方程，化简后利用等差中项的性质进行证明即可．

解答 证明：因为$\frac{1}{b+c}$、$\frac{1}{a+c}$、$\frac{1}{a+b}$成等差数列，
所以$\frac{2}{a+c}$=$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{a+b}$，
即$\frac{2}{a+c}=\frac{a+c+2b}{（b+c）（a+b）}$，
化简得2b²=a²+c²，
所以a²、b²、c²成等差数列．

点评 本题考查等差中项的性质，以及化简、变形能力，属于中档题．