Question

7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=6，sinA-sinC=sin（A-B）．
（Ⅰ）若b=2$\sqrt{7}$，求△ABC的面积；
（Ⅱ）若1≤a≤6，求sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两角和与差的余弦函数公式化简已知可得cosB=$\frac{1}{2}$，由余弦定理可解得a的值，由三角形面积公式即可求值．
（Ⅱ）利用余弦定理求得b，进而根据正弦定理求得sinC的表达式，根据a范围确定sinC的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵sinA-sinC=sin（A-B），
∴sinA=sinC+sin（A-B）=sin（A+B）+sin（A-B）
=sinAcosB+cosAsinB+sinAcosB-cosAsinB=2sinAcosB，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
由余弦定理可得（2$\sqrt{7}$）²=a²+6²-12acos$\frac{π}{3}$，即a²-6a+8=0，
解得a=2或a=4．
当a=2时，△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×2×6sin$\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$；
当a=4时，△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×4×6sin$\frac{π}{3}$=6$\sqrt{3}$；…8分
（Ⅱ）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=a²-6a+36，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-6a+36}$，
于是由正弦定理可得sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{6×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{a}^{2}-6a+36}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{（a-3）^{2}+27}}$，
∵1≤a≤6，$\sqrt{（a-3）^{2}+27}$∈[3$\sqrt{3}$，6]，
从而得到sinC的取值范围是：[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]…15分．

点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，考查了余弦定理和正弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．