Question

15．设P为椭圆 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上任一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，|PF₁|+|PF₂|=4，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（≠0）与椭圆交于A、B两点，若线段AB的中点C的直线y=$\frac{1}{2}$x上，O为坐标原点．求△OAB的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，计算出a、b的值即可；
（2）联立直线l与椭圆方程消去y得到一个关于x的一元二次方程，由韦达定理可得C（x_c、y_c），再将其代入所在直线y=$\frac{1}{2}$x上，可解得k=-1，故可化简关于x的一元二次方程，从而得到关于S的表达式，再结合不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）根据题意，可得2a=PF₁|+|PF₂|=4，所以a=2，
又c=ae=$2×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，所以b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
所以椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x_c，y_c），
将直线l：y=kx+m代入方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0            （*）
由韦达定理可知x_c=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-2km}{1+2{k}^{2}}$，
从而y_c=kx_c+m=$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$，
又线段AB的中点C的直线y=$\frac{1}{2}$x上，
所以$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}•$$\frac{-2km}{1+2{k}^{2}}$，解得k=-1，
则（*）变为3x²-4mx+2m²-4=0，
所以|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{4\sqrt{6-{m}^{2}}}{3}$，
则△OAB底边AB的高h=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$，所以S=$\frac{\sqrt{2}}{3}•\sqrt{（6-{m}^{2}）{m}^{2}}$，
∵（6-m²）m²≤$[\frac{（6-{m}^{2}）+{m}^{2}}{2}]^{2}=9$，
∴S$≤\sqrt{2}$，即S得最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆及其与直线的关系，利用韦达定理是解题的关键，属于中档题．