Question

5．已知M（a，2）是抛物线y²=2x上的一定点，直线MP、MQ的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P、Q两点，则直线PQ的斜率为（　　）

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 将M代入抛物线求出a，利用直线MP，MQ的倾斜角的和为π，则其斜率互为相反数，设出MP的方程，将方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出P的纵坐标与k的关系；同理得到Q的纵坐标与k的关系；利用两点连线的斜率公式求出PQ的斜率．

解答 解：将（a，2）代入抛物线方程得a=2，即M（2，2）．
设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为-k，
设p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
直线MP的方程为y-2=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-2=k（x-2）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，消x得，ky²-2y+4-4k=0，
由韦达定理得y₁+2=$\frac{2}{k}$，
同理y₂+2=-$\frac{2}{k}$，
∴y₁+y₂=-4，
∴PQ的斜率为$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}}$
=$\frac{2}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2}{-4}$=-$\frac{1}{2}$．
故选B．

点评 本题考查解决直线与圆锥曲线的位置关系常用的方法是将它们的方程联立，通过韦达定理得到交点的坐标的关系、考查两点连线的斜率公式．