Question

10．已知抛物线y²=-2px（p＞0）与直线y=k（x+1）相交于A，B两点，且焦点到准线的距离为$\frac{1}{2}$．
（1）求该抛物线的方程；
（2）当△AOB的面积等于$\sqrt{10}$时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点和准线方程，可得焦准距为p，由题意可得p=$\frac{1}{2}$，即可得到抛物线方程；
（2）令A，B两点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-1，0），联立直线方程和抛物线方程，消去x，运用韦达定理，再由△AOB的面积为△AOC和△BOC的面积之和，由题意可得k的方程，解得即可．

解答 解：（1）抛物线y²=-2px（p＞0）的焦点为（-$\frac{p}{2}$，0），
准线方程为x=$\frac{p}{2}$，即有p=$\frac{1}{2}$，
则抛物线方程为y²=-x；
（2）令A，B两点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=-x}\\{y=k（x+1）}\end{array}}\right.$，消去x，得ky²+y-k=0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=-\frac{1}{k}}\\{{y_1}•{y_2}=-1}\end{array}}\right.$，
令直线AB与x轴的交点为点C，即有C（-1，0），
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|OC|•|{y_1}-{y_2}|=\frac{1}{2}×1×\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{k^2}+4}=\sqrt{10}$，
∴$k=±\frac{1}{6}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，同时考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，注意三角形面积的求法的灵活性，属于中档题．