Question

19．已知函数f（x）=x³+$\frac{1}{2}$mx²-2m²x-4有极大值-$\frac{2}{5}$，（m为非零常数），求m的值．

Answer 1

分析 求出导函数，求出导函数等于0的两个根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况的表格，求出极大值，列出方程求出m的值．

解答 解：函数f（x）=x³+$\frac{1}{2}$mx²-2m²x-4，
∴f′（x）=3x²+mx-2m²=（x+m）（3x-2m）=0，则x=-m或x=$\frac{2}{3}$m，
当m＞0，x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-m）	-m	（-m，$\frac{2}{3}$m）	$\frac{2}{3}$m	（$\frac{2}{3}$m，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f （x）	增	极大值	减	极小值	增

从而可知，当x=-m时，函数f（x）取得极大值-$\frac{2}{5}$，
即f（-m）=-m³+$\frac{1}{2}$m³+2m³-4=-$\frac{2}{5}$，
∴m=$\root{3}{\frac{12}{5}}$．
当m＜0，x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，$\frac{2}{3}$m）	$\frac{2}{3}$m	（$\frac{2}{3}$m，-m）	-m	（-m，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f （x）	增	极大值	减	极小值	增

从而可知，当x=$\frac{2}{3}$m时，函数f（x）取得极大值-$\frac{2}{5}$，
即f（$\frac{2}{3}$m）=（$\frac{2}{3}m$）³+$\frac{1}{2}$m•（$\frac{2}{3}m$）²-2m²（$\frac{2}{3}m$）-4=-$\frac{2}{5}$，
∴m=$-\root{3}{\frac{9}{55}}$．
故答案为：$\root{3}{\frac{12}{5}}$或$-\root{3}{\frac{9}{55}}$．

点评 本题考查利用导数求函数的极值的步骤：求出导数；令导数为0求出根；列出表格判断根左右两边导函数的符号；求出极值．