Question

16．已知数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$+1．
（1）证明数列{a_n+$\frac{1}{n}$}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）（理科）设数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的前n项和为S_n，证明S_n＜$\frac{{n}^{2}}{n+1}$．
（文科）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，求数列{b_n}前n项和．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$+1得a_n+1-a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$+1，代入当n≥2时，（a_n+$\frac{1}{n}$）-（a_n-1+$\frac{1}{n-1}$）化简后，由等差数列的定义即可证明，再由等差数列的通项公式求出数列{a_n}的通项公式；
（2）理科：由（1）得$\frac{{a}_{n}}{n}$=1-$\frac{1}{{n}^{2}}$，求出前n项和为S_n，利用$\frac{1}{{n}^{2}}＞\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，由裂项求和法和不等式的性质即可证明；
文科：由（1）化简b_n=$\frac{{a}_{n}}{n+1}$后，求出数列{b_n}前n项和．

解答 （1）证明：因为a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$+1，则a_n+1-a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$+1，
所以当n≥2时，（a_n+$\frac{1}{n}$）-（a_n-1+$\frac{1}{n-1}$）=a_n+$\frac{1}{n}$-（a_n-1+$\frac{1}{n-1}$）
=$\frac{1}{n（n-1）}$+1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n-1}$=1，
又a₁=0，则a₁+$\frac{1}{1}$=1，
所以数列{a_n+$\frac{1}{n}$}是以1为首项、公差的等差数列，
则a_n+$\frac{1}{n}$=1+（n-1）=n，所以${a}_{n}=n-\frac{1}{n}$；
（2）证明：（理科）由（1）得，$\frac{{a}_{n}}{n}$=1-$\frac{1}{{n}^{2}}$，
所以数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的前n项和为S_n=n-（$\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$），
因为$\frac{1}{{n}^{2}}＞\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以$\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$＞（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$，
所以S_n=n-（$\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$）＜n-（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$，
即S_n＜$\frac{{n}^{2}}{n+1}$．
解：（文科）由（1）得，b_n=$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}（n-\frac{1}{n}）$=$\frac{n}{n+1}$-$\frac{1}{n（n+1）}$
=$\frac{n}{n+1}$-$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n}$，
所以数列{b_n}前n项和T_n=n-（1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$）．

点评 本题考查等差数列的定义、通项公式，裂项求和法求数列的和，以及放缩法证明不等式，考查了推理能力与化简能力，属于难题．