Question

10．已知函数f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$），x∈R
（1）求f（-$\frac{7}{12}π$）的值及f（x）设为最小正周期T；
（2）若$α∈（0，\frac{π}{2}）$，f（$\frac{α}{3}$）=2cos（$α+\frac{π}{4}$），求f（$\frac{2}{3}α$-$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 （1）直接利用条件求得f（-$\frac{7}{12}π$）的值及f（x）的最小正周期T的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得tan（α+$\frac{π}{4}$）的值，再利用二倍角公式求得tanα的值，可得sin2α、cos2α的值，再利用两角差的正弦公式求得f（$\frac{2}{3}α$-$\frac{π}{6}$）=sin（2α-$\frac{π}{4}$） 的值．

解答 解：（1）由于函数f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$），x∈R，
∴f（-$\frac{7}{12}π$）=sin（-$\frac{7π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=sin（-$\frac{3π}{2}$）=sin$\frac{π}{2}$=1，
故f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵$α∈（0，\frac{π}{2}）$，f（$\frac{α}{3}$）=sin（α+$\frac{π}{4}$）=2cos（$α+\frac{π}{4}$），
∴tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=2，求得tanα=$\frac{1}{3}$．
∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{2sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{2tanα}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{3}{5}$，
cos2α=$\frac{{cos}^{2}α{-sin}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{1{-tan}^{2}α}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{4}{5}$，
∴f（$\frac{2}{3}α$-$\frac{π}{6}$）=sin（2α-$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=sin（2α-$\frac{π}{4}$）=sin2αcos$\frac{π}{4}$-cos2αsin$\frac{π}{4}$
=$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{4}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象性质，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．