Question

5．若抛物线C：y²=2px的焦点在直线l：2x+y-2=0上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线l被抛物线C所截的弦长．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点坐标，代入即可求得p=2，进而得到抛物线的方程；
（2）联立直线和抛物线方程，运用韦达定理，结合抛物线的定义，即可求得弦长．

解答 解：（1）抛物线C：y²=2px的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
由题意可得，p-2=0，解得p=2，
即有抛物线方程为y²=4x；
（2）由直线2x+y-2=0和抛物线y²=4x，
消去y，可得x²-3x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=3，
由抛物线的定义可得|AB|=x₁+x₂+p=3+2=5．
则直线l被抛物线C所截的弦长为5．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，属于中档题．