Question

11．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作直线l的垂线PM，垂足为M，已知△PFM为等边三角形，则△PFM的面积为（　　）

• A． p²
• B． $\sqrt{3}$p²
• C． 2p²
• D． 2$\sqrt{3}$p²

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，设P（m，n），则n²=2pm，再由抛物线的定义，结合等边三角形的定义，得到m，n的方程，可得m，再由等边三角形的面积公式，计算即可得到．

解答 解：抛物线C：y²=2px（p＞0），焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），准线为l：x=-$\frac{p}{2}$，
设P（m，n），则n²=2pm，①
由题意可得M（-$\frac{p}{2}$，n），
由于△PFM为等边三角形，则有|PF|=|PM|=|FM|，
即有m+$\frac{p}{2}$=$\sqrt{{p}^{2}+{n}^{2}}$②
由①②可得m=$\frac{3}{2}$p，
则等边三角形的边长为$\frac{3}{2}$p+$\frac{1}{2}$p=2p，
即有面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（2p）²=$\sqrt{3}$p²．
故选B．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查等边三角形的概念和两点距离公式的运用，属于中档题．