Question

6．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，其中向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，2sinx）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；
（Ⅱ）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a²+b²-c²≥ab，求f（C）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量和三角函数可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由周期公式可得周期，解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单调递增区间，取[0，π]上的可得；
（Ⅱ）由题意和余弦定理可得0＜C≤$\frac{π}{3}$，进而由三角函数和不等式的性质可得．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
结合[0，π]可得单调递增区间为[0，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{2π}{3}$，π]；
（Ⅱ）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a²+b²-c²≥ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$≥$\frac{1}{2}$，∴0＜C≤$\frac{π}{3}$，
∴0＜2C≤$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜2C+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（2C+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴f（C）=2sin（2C+$\frac{π}{6}$）+1∈[2，3]
∴f（C）的取值范围为：∈[2，3]

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及周期性和单调性以及余弦定理，属中档题．