Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{x^2}（lnx+\frac{3}{2}-ax）$，a＞0．
（Ⅰ）若a=2，求证：函数f（x）的导函数f′（x）≥0；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上没有单调性且没有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用a=2，化简函数求出导数，设g（x）=lnx-x+1，求出导数与定义域，求出g（x）在（0，+∞）上最大值是g（1），即可得到结果．
（II）利用f（x）在（0，+∞）无单调性可知，推出导函数必有零点，转化为$f'（x）=-\frac{2}{x^3}（lnx+1-\frac{a}{2}x）$有正根，
构造$p（x）=lnx+1-\frac{a}{2}x$有正零点，求出函数的导数，判断单调性，求出最值．解得：a的范围，再由f（x）在（0，+∞）无零点可知，设$h（x）=lnx+\frac{3}{2}-ax$，求出函数的最值，推出a的范围，然后求解即可．

解答 解：（I）若a=2，$f'（x）=-\frac{2}{x^3}（lnx-x+1）$，…（2分）
设g（x）=lnx-x+1，$g'（x）=\frac{1-x}{x}$，定义域是x＞0，
在（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）是减函数，
在（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）是增函数，
∴g（x）在（0，+∞）上最大值是g（1）=0，
即lnx-x+1≤0，∴f′（x）≥0；…（6分）
（II）由f（x）在（0，+∞）无单调性可知，当x∈（0，+∞）时，f′（x）必有零点，…（8分）
∵$f'（x）=-\frac{2}{x^3}（lnx+1-\frac{a}{2}x）$，
∴当x∈（0，+∞）时，$f'（x）=-\frac{2}{x^3}（lnx+1-\frac{a}{2}x）$有正根，
即函数$p（x）=lnx+1-\frac{a}{2}x$有正零点，$p'（x）=-\frac{{a（x-\frac{2}{a}）}}{2x}$，p（x）在$（0，\frac{2}{a}）$递增、
在$（\frac{2}{a}，+∞）$递减，$p{（x）_{max}}=p（\frac{2}{a}）＞0$，解得：a＜2；…①…（10分）
再由f（x）在（0，+∞）无零点可知，设$h（x）=lnx+\frac{3}{2}-ax$，
令$h'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}=0$，得$x=\frac{1}{a}$，
∵h（x）在$（\frac{1}{a}，+∞）$上是减函数，h（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上是增函数，
∴h（x）在（0，+∞）最大值是$h（\frac{1}{a}）=-lna+\frac{1}{2}$，
当$h（\frac{1}{a}）＜0$，即$a＞\sqrt{e}$时，f（x）在（0，+∞）没有零点；…②
由①②，∴a∈$（\sqrt{e}，2）$． …（12分）

点评 本题考查函数的综合应用，构造法以及新函数的导数单调性函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．