Question

1．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点是F，准线是l，经过C上两点A、B分别作C的切线l₁、l₂．
（Ⅰ）若l₁交y轴于点D，求证：△AFD为等腰三角形；
（Ⅱ）设l₁与l₂交于点E在l上，求证：三点A、B、F共线．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把抛物线方程变形，求其导函数，设出A的坐标，利用导数得到抛物线在A点的切线方程，求出D的坐标，由|DF|=|AF|得答案；
（Ⅱ）设出B的坐标，利用导数求出l₂的方程，联立两切线方程求得E的坐标，由E在直线l上得到${x_1}{x_2}=-{p^2}$，再设AB：y=kx+b，联立AB方程与抛物线方程结合根与系数关系得到x₁x₂=-2pb，由此可得直线AB经过点$F（0，\frac{p}{2}）$，三点A、B、F共线．

解答 解：（Ⅰ）∵$y=\frac{x^2}{2p}$，∴设$A（{x_1}，\frac{{{x_1}^2}}{2p}）$，
∵$y'=\frac{x}{p}$，∴l₁的方程是$y=\frac{x_1}{p}x-\frac{{{x_1}^2}}{2p}$，
∴$D（0，-\frac{{{x_1}^2}}{2p}）$，
∵$F（0，\frac{p}{2}）$，∴$|DF|=\frac{p}{2}+\frac{{{x_1}^2}}{2p}$，
而$|AF|=\frac{p}{2}+\frac{{{x_1}^2}}{2p}$，
∴|DF|=|AF|，△AFD为等腰三角形；
（Ⅱ）设$B（{x_2}，\frac{{{x_2}^2}}{2p}）$，则切线l₂的方程是$y=\frac{x_2}{p}x-\frac{{{x_2}^2}}{2p}$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x_1}{p}x-\frac{{{x_1}^2}}{2p}\\ y=\frac{x_2}{p}x-\frac{{{x_2}^2}}{2p}\end{array}\right.$，得$E（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{x_1}{x_2}}}{2p}）$，
∵E在l：$y=-\frac{p}{2}$上，
∴${x_1}{x_2}=-{p^2}$，
显然直线AB斜率存在，设AB：y=kx+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=2py\\ y=kx+b\end{array}\right.$，得x²-2pkx-2pb=0，
∴x₁x₂=-2pb，
∴2pb=-p²，$b=\frac{p}{2}$，
∴直线AB经过点$F（0，\frac{p}{2}）$，三点A、B、F共线．

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，属难题．