Question

10．在数列{a_n}中，a_n+a_n+1+a_n+2为同一定值，且a₁₃+a₁₅+a₁₇=3，该数列的前n项和记为S_n，给出下列结论：
①数列{a_n}一定为常数列；
②a₁有无数个值；
③S_3n=3n；
④数列{a_n}不可能为等比数列，
其中结论正确的为②③（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 在数列{a_n}中，a_n+a_n+1+a_n+2为定值，且a₁₃+a₁₅+1₁₇=3，得到数列各项以3为周期呈周期变化且a₁+a₂+a₃=3，由此举例逐一判断4个命题得答案．当a₁=0，a₂=1，a₃=2时满足已知条件a_n+a_n+1+a_n+2为同一定值，且a₁₃+a₁₅+a₁₇=3，数列{a_n}不一定为常数列；只要满足a₁+a₂+a₃=3，a₁可取任意实数值；由a₁+a₂+a₃=3，可得S_3n=n（a₁+a₂+a₃）=3n；当a_n=1时数列满足已知条件，数列为等比数列．

解答 解：当a₁=0，a₂=1，a₃=2时满足已知条件a_n+a_n+1+a_n+2为同一定值，且a₁₃+a₁₅+a₁₇=3，∴数列{a_n}不一定为常数列，①不正确；
只要满足a₁+a₂+a₃=3，a₁可取任意实数值，∴②正确；
∵a₁+a₂+a₃=3，∴S_3n=n（a₁+a₂+a₃）=3n，∴③正确．
当a_n=1时数列满足已知条件，数列为等比数列，∴④不正确
故答案为：②③．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了数列的函数特性，是基础题．