Question

18．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，2AC=PC=2，AC⊥BC，D，E，F分别为AC，AB，AP的中点，M，N分别为线段PC，PB上的动点，且有MN∥BC，
（Ⅰ）求证：MN⊥平面PAC
（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角E-MN-F为直二面角？若存在，求CM的长度，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：BC⊥平面PAC，利用MN∥BC，即可证明MN⊥平面PAC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAC，∠DMF是二面角E-MN-F的平面角，由题意，∠DMF=90°，可得M是PC的中点，即可求CM的长度．

解答 （Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AC⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵MN∥BC，
∴MN⊥平面PAC
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）MN⊥平面PAC，
∴MN⊥MF，MN⊥MD，
∴∠DMF是二面角E-MN-F的平面角，
由题意，∠DMF=90°，∴M是PC的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$PC=1．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．