Question

6．已知数列{a_n}是首项为1的数列，且当n≥2时，$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$+$\frac{1}{2}$．
（1）证明：{a_n}是等差数列；
（2）若数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为T_n，求T₆₀．

Answer 1

分析 （1）利用题中的递推关系式进一步利用定义和前n项和公式求出数列的相邻项的差是常数，所以数列数等差数列．
（2）利用（1）中${S}_{n}=\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$，进一步整理出$\frac{1}{{S}_{n}}=2[\frac{1}{n（n+1）}]$=$2[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}]$进一步利用裂项相消法求出数列的前n项和，最后求出结果．

解答 解：（1）数列{a_n}是首项为1的数列，且当n≥2时，$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$+$\frac{1}{2}$．
则：$\frac{{S}_{n}}{n}$-$\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{1}{2}$（常数）．
则：{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以$\frac{{a}_{1}}{1}$=1为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列．
则：$\frac{{S}_{n}}{n}=1+\frac{1}{2}（n-1）$，
解得：${S}_{n}=\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$
所以：a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n-\frac{（n-1）^{2}}{2}-\frac{n-1}{2}$=n．
所以进一步整理出：a_n-a_n-1=1（常数）
所以：{a_n}是等差数列；
（2）由（1）得：${S}_{n}=\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$，
所以：$\frac{1}{{S}_{n}}=2[\frac{1}{n（n+1）}]$=$2[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}]$
所以：${T}_{n}=\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+$…+$\frac{1}{{S}_{n}}$
=2[1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$]
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\begin{array}{c}\\ \frac{2n}{n+1}\end{array}\right.$
则：${T}_{60}=\frac{120}{61}$．

点评 本题考查的知识要点：利用定义和递推关系式证明数列是等差数列，利用裂项相消法求数列的和．