Question

2．已知抛物线y=ax²（a＞0）上两个动点A、B（不在原点），满足$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，若存在定点M，使得$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1，则M坐标为 （　　）

• A． （{0，-a}）
• B． （{0，a}）
• C． （$\frac{1}{a}$，0}）
• D． （0，$\frac{1}{a}$）

Answer 1

分析 由已知运用向量共线定理可得A，B，M三点共线，于是问题转化为动直线过定点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁=ax₁²，y₂=ax₂²，由此利用点差法求出直线AB过定点（0，$\frac{1}{a}$），可求M点坐标．

解答 解：由$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1，
得$\overrightarrow{OM}$=$λ\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，
即$\overrightarrow{BM}$=λ$\overrightarrow{BA}$，
∴A，B，M三点共线，于是问题转化为动直线过定点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁=ax₁²，y₂=ax₂²，
两式相减，得y₁-y₂=a（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{a{{x}_{1}}^{2}-a{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=a（x₁+x₂），
∴直线AB方程为y-y₁=a（x₁+x₂）（x-x₁），
即y=a（x₁+x₂）（x-x₁）+y₁=a（x₁+x₂）x-ax₁²-ax₁x₂+ax₁²
=a（x₁+x₂）x-ax₁x₂，①
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+a²x₁²x₂²=0，∴a²x₁x₂=-1，②
把②代入①，得y=a（x₁+x₂）x+$\frac{1}{a}$，
∴直线AB过定点（0，$\frac{1}{a}$），M点坐标是（0，$\frac{1}{a}$）．
故选D．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，同时考查平面向量的共线定理和向量垂直的条件，以及直线的斜率公式，具有一定的运算量，属于中档题．