Question

9．对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f（x）和y=g（x），规定：函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{f（x）}{g（x）}，x∈{D}_{f}且x∈{D}_{g}}\\{f（x），x∈{D}_{f}且x∉{D}_{g}}\\{g（x），x∉{D}_{f}且x∈{D}_{g}}\end{array}\right.$，若f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$，g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，则h（x）的值域是（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 首先求出各个函数的定义域，然后根据信息的要求写出函数的解析式，进一步求出函数的值域．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$的定义域是{x|x∈R}的函数，
g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$的定义域是{x|x≠0}的函数，
故：对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f（x）和y=g（x），规定：
函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{f（x）}{g（x）}，x∈{D}_{f}且x∈{D}_{g}}\\{f（x），x∈{D}_{f}且x∉{D}_{g}}\\{g（x），x∉{D}_{f}且x∈{D}_{g}}\end{array}\right.$，
故：h（x）=$\frac{1}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$（x∈（-∞，0）∪（0，+∞）
由于：e^x+e^-x≥2
所以：h（x）=$\frac{1}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$（x∈（-∞，0）∪（0，+∞）
的值域是：h（x）$∈（0，\frac{1}{2}]$．
故答案为：$（0，\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查的知识要点：信息题型的应用，主要考查学生对信息题的理解和应用能力．