Question

20．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（a，-4）（a＞0）到焦点F的距离为5，．
（1）求抛物线的方程与实数a的值；
（2）直线l过焦点F，且点M到直线l的距离为4，求直线l的方程；
（3）O是抛物线的顶点，在抛物线弧OM上求一点P，使△FPM的面积最大．

Answer 1

分析 （1）设抛物线方程为x²=-2py（p＞0），求出准线方程，由抛物线的定义，可得p=2，进而得到抛物线方程，再由代入法，可得a=4；
（2）设直线l：x=0或y=kx-1，运用点到直线的距离公式，计算即可得到k：
（3）在抛物线弧OM上求一点P，使△FPM的面积最大，只要P到直线FM的距离最大．求得直线FM的方程，设出点P，由点到直线的距离公式，配方结合二次函数的值域，即可求得最大值．

解答 解：（1）设抛物线方程为x²=-2py（p＞0），准线方程为y=$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义可得，|MF|=$\frac{p}{2}$-（-4）=5，解得p=2，
即有抛物线方程为x²=-4y，则a²=16，解得a=4．
故a=4，抛物线方程为x²=-4y；
（2）焦点F（0，-1），设直线l：x=0或y=kx-1，
当x=0时，显然有点M到直线l的距离为4；
由M（4，-4），可得$\frac{|4k-1+4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4，解得k=$\frac{7}{24}$，
即有直线l：x=0或y=$\frac{7}{24}$x-1；
（3）由于F（0，-1），M（4，-4）为定点，
在抛物线弧OM上求一点P，使△FPM的面积最大，
只要P到直线FM的距离最大．
设P（m，-$\frac{1}{4}$m²），（0≤m≤4），FM：y=-$\frac{3}{4}$x-1，
P到直线FM的距离为d=$\frac{|\frac{3}{4}m+1-\frac{1}{4}{m}^{2}|}{\sqrt{1+\frac{9}{16}}}$
=$\frac{|4+3m-{m}^{2}|}{5}$=$\frac{|\frac{25}{4}-（m-\frac{3}{2}）^{2}|}{5}$，
由0≤m≤4，则m=$\frac{3}{2}$，d取得最大，
则有在抛物线弧OM上取一点P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{16}$），使△FPM的面积最大．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查点到直线的距离公式的运用，注意直线的斜率不存在的情况和二次函数的值域求法，属于中档题和易错题．