Question

3．已知点A（-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），在抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线上，点M，N在抛物线C上，且位于x轴的两侧，O是坐标原点，若$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=3，则点A到动直线MN的最大距离为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 求得抛物线的准线方程，由题意解得p=1，设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=3，消元，最后可得定点D坐标，连接AD，当AD⊥MN，有点A到动直线MN的距离最大，由两点的距离公式计算即可得到．

解答 解：抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为x=-$\frac{p}{2}$，
由题意得-$\frac{p}{2}$=-$\frac{1}{2}$，解得p=1．
即有抛物线方程为y²=2x，
设直线MN的方程为：x=ty+m，点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直线MN与x轴的交点为D（m，0），
x=ty+m代入y²=2x，可得y²-2ty-2m=0，
根据韦达定理有y₁•y₂=-2m，
∵$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=3，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=3，从而$\frac{1}{4}$（y₁•y₂）²+y₁•y₂-3=0，
∵点M，N位于x轴的两侧，
∴y₁•y₂=-6，故m=3．
当y=0时，x=3恒成立，
故直线MN所过的定点坐标是D（3，0），
当直线MN绕着定点D（3，0）旋转时，AD⊥MN，
即有点A到动直线MN的距离最大，且为$\sqrt{（3+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 求解本题时，应考虑联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，再由观察可得点到直线的距离的最大，这是处理此类问题的常见模式．