Question

18．已知x∈[$\frac{1}{2}$，4]，求函数y=log₂x•（log₂$\frac{x}{4}$）的值域．

Answer 1

分析 将原函数变成y=$（lo{g}_{2}x-1）^{2}-1$，所以根据对数函数的单调性，由x∈[$\frac{1}{2}$，4]即可求出log₂x的范围，从而根据解析式y=$（lo{g}_{2}x-1）^{2}-1$即可求出原函数的最大值、最小值，即求出其值域．

解答 解：y=$lo{g}_{2}x•（lo{g}_{2}\frac{x}{4}）$=log²₂x-2log₂x=$（lo{g}_{2}x-1）^{2}-1$；
∵$x∈[\frac{1}{2}，4]$，∴log₂x∈[-1，2]；
∴log₂x=1时，原函数取最小值-1；log₂x=-1时，取最大值3．
∴原函数的值域为[-1，3]．

点评 考查对数的运算，配方法求函数的值域，以及对数函数的单调性．