Question

14．各项均为正奇数的数列a₁，a₂，a₃，a₄中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a₄-a₁=100，则q的值为$\frac{11}{7}$．

Answer 1

分析 先设数列的前三项，再由a₄-a₁=100得到第四项，利用后三项依次成公比为q的等比数列建立等式，从而可得公差的范围及取值，由此可求得q的值．

解答 解：设正奇数的数列前四项依次为a₁，a₁+d，a₁+2d，a₁+100，其中a₁为正奇数，d为正偶数，则
∵后三项依次成公比为q的等比数列，
∴$（{a}_{1}+2d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+100）$，
整理得${a}_{1}=\frac{4d（25-d）}{3d-100}$＞0，
∴（d-25）（3d-100）＜0，即25＜d＜$\frac{100}{3}$，
则d可能为26，28，30，32，
当d=26时，a₁=$\frac{52}{11}$（舍）；
当d=28时，a₁=21，q=$\frac{11}{7}$；
当d=30时，a₁=60（舍）；
当d=32时，a₁=224（舍）．
∴q的值为$\frac{11}{7}$．
故答案为：$\frac{11}{7}$．

点评 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查学生分析解决问题的能力，正确设出数列是关建，是中档题．