Question

19．已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），其中min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在区间D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在区间D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数为区间[a，b]上的“k阶收缩函数”有以下三个命题，其中正确的命题为①②③（请把正确命题序号填在横线上）
①若f（x）=cosx，x∈[0，π]，则f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，f₂（x）=1，x∈[0，π]
②函数f（x）=-x³+3x²是[0，1]上的2阶收缩函数
③若函数f（x）=x²，x∈[-1，4]是[-1，4]上的“k阶收缩函数”，则k=4．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）=cosx的最大值为1，可得f₁（x）、f₂（x）的解析式；
（2）先对函数f（x）进行求导判断函数的单调性，进而写出f₁（x）、f₂（x）的解析式，然后再根据题意判断是否有f₂（x）-f₁（x）≤2（x-0）成立；
（3）根据函数f（x）=x²在x∈[-1，4]上的值域，先写出f₁（x）、f₂（x）的解析式，再由f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）求出k的范围得到答案．

解答 解：①由题意可得：f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，f₂（x）=1，x∈[0，π]，故正确；
②f'（x）=-3x²+6x=-3x（x-2），
当x∈[0，1]时，f'（x）＞0，
∴f（x）在[0，1]上单调递增，
因此，f₂（x）=f（x）=-x³+3x²，f₁（x）=f（0）=0．
∵f₂（x）-f₁（x）-2（x-0）=-（x³-3x²+2x）
=-x（x²-3x+2）=-x（x-1）（x-2），
及x∈[0，1]，
∴f₂（x）-f₁（x）-2（x-0）＜0，
∴f₂（x）-f₁（x）≤2（x-0）对x∈[0，1]恒成立；
所以f（x）=-x³+3x²是[0，1]上的2阶收缩函数，故正确；
③根据题意，有f₁（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{x∈[-1，0）}\\{0，}&{x∈[0，4]}\end{array}\right.$，${f}_{2}（x）=\left\{\begin{array}{l}{1，}&{x∈[-1，1）}\\{{x}^{2}，}&{x∈[1，4]}\end{array}\right.$，
所以f₂（x）-f₁（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，}&{x∈[-1，0）}\\{1，}&{x∈[0，1）}\\{{x}^{2}，}&{x∈[1，4]}\end{array}\right.$
当x∈[-1，0]时，1-x²≤k（x+1），
∴k≥1-x，k≥2；
当x∈（0，1）时，1≤k（x+1），
∴$k≥\frac{1}{x+1}$，∴k≥1；
当x∈[1，4]时，x²≤k（x+1），
∴$k≥\frac{1}{x+1}$，∴$k≥\frac{16}{5}$．
综上所述，$k≥\frac{16}{5}$，
即存在k=4，使得f（x）是[-1，4]上的4阶收缩函数，故正确．
故答案为：①②③．

点评 本题主要考查学生的对新问题的接受、分析和解决的能力．要求学生要有很扎实的基本功才能作对这类问题．