Question

3．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$-4，g（x）=kx+3
（Ⅰ）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围
（Ⅱ）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x₁）|-|f（x₂）|＜g（x₁）-g（x₂），对任意x₁，x₂∈[2，4]（x₁＜x₂）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解不等式f（m）≥f（1）即可；
（Ⅱ）不等式等价于F（x）=|f（x）|-g（x）在[2，4]上递增，显然F（x）为分段函数，结合单调性对每一段函数分析讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a∈[3，4]，∴y=f（x）在（1，$\sqrt{a}$）上递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）上递增，
又∵f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），
∴f（m）≥f（1），解得（m-1）（m-a）≥0，
∴m≥a_max，即m≥4；
（Ⅱ）∵|f（x₁）|-|f（x₂）|＜g（x₁）-g（x₂），
∴|f（x₁）|-g（x₁）＜|f（x₂）|-g（x₂）恒成立，
令F（x）=|f（x）|-g（x），则F（x）在[2，4]上递增．
对于F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（-1-k）x-\frac{a}{x}+1}&{x∈[2，2+\sqrt{4-a}]}\\{（1-k）x+\frac{a}{x}-7}&{x∈（2+\sqrt{4-a}，4]}\end{array}\right.$，
（1）当$x∈[2，2+\sqrt{4-a}]$时，F（x）=（-1-k）x-$\frac{a}{x}$+1，
①当k=-1时，F（x）=-$\frac{a}{x}$+1在$[2，2+\sqrt{4-a}]$上递增，所以k=-1符合；
②当k＜-1时，F（x）=（-1-k）x-$\frac{a}{x}$+1在$[2，2+\sqrt{4-a}]$上递增，所以k＜-1符合；
③当k＞-1时，只需$\sqrt{\frac{a}{k+1}}≥2+\sqrt{4-a}$，即$\sqrt{\frac{1}{k+1}}≥（\frac{2}{\sqrt{a}}+\sqrt{\frac{4}{a}-1}）_{max}$=$2+\sqrt{3}$，
所以$-1＜k≤6-4\sqrt{3}$，从而$k≤6-4\sqrt{3}$；
（2）当x∈$（2+\sqrt{4-a}，4]$时，F（x）=（1-k）x+$\frac{a}{x}-7$，
①当k=1时，F（x）=$\frac{a}{x}-7$在$（2+\sqrt{4-a}，4]$上递减，所以k=1不符合；
②当k＞1时，F（x）=（1-k）x+$\frac{a}{x}-7$在$（2+\sqrt{4-a}，4]$上递减，所以k＞1不符合；
③当k＜1时，只需$\sqrt{\frac{a}{1-k}}≤2+\sqrt{4-a}$，即$\sqrt{\frac{1}{1-k}}≤（\frac{2}{\sqrt{a}}+{\sqrt{\frac{4}{a}-1）}}_{min}$=1+$\sqrt{2}$，
所以$k＜2\sqrt{2}-2$，
综上可知：$k≤6-4\sqrt{3}$．

点评 本题利用函数的单调性解决与最值、不等式的相关问题，考查分析、计算能力以及分类讨论的思想，属于难题．