Question

18．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过A（-1，$\frac{3}{2}$）、B（0，$\sqrt{3}$）两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于另一点M，交x轴于点P，点M关于x轴的对称点为N，直线BN交x轴于点Q．求|OP|+|OQ|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将A、B两点代入椭圆方程，求出a、b，从而可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为$y=kx+\sqrt{3}\$（k≠0），M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），联立直线l与椭圆方程，由韦达定理可得，从而M（$-\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），N（$-\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，-$\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），从而直线BN的方程为：$y=\frac{3}{4k}x+\sqrt{3}$，则Q（$-\frac{4\sqrt{3}k}{3}$，0），又因为P（$-\frac{\sqrt{3}}{k}$，0），结合不等式可得|OP|+|OQ|=$\frac{4\sqrt{3}|k|}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{|k|}$≥4．

解答 解：（Ⅰ）将A（-1，$\frac{3}{2}$）、B（0，$\sqrt{3}$）两点代入椭圆方程，
得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{3}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由于直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为$y=kx+\sqrt{3}\$（k≠0），M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，化简得$（3+4{k}^{2}）{x}^{2}+8\sqrt{3}kx=0$，
所以${x}_{0}=-\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，${y}_{0}=k{x}_{0}+\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
从而M（$-\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），N（$-\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，-$\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），
所以k_BN=$\frac{\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}{\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{3}{4k}$，
从而直线BN的方程为：$y=\frac{3}{4k}x+\sqrt{3}$，则Q（$-\frac{4\sqrt{3}k}{3}$，0），
又因为P（$-\frac{\sqrt{3}}{k}$，0），所以|OP|+|OQ|=$\frac{4\sqrt{3}|k|}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{|k|}$≥4，
当且仅当$\frac{4\sqrt{3}|k|}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{|k|}$，即|k|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时取等号，
所以|OP|+|OQ|的最小值为4．

点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法，联立方程组后利用韦达定理是解题的关键．