Question

4．用数学归纳法证明：对大于1的整数n，有3ⁿ＞n+3恒成立．

Answer 1

分析 我们要先证明m=1时，（1+x）^m≥1+mx成立，再假设m=k时，（1+x）^m≥1+mx成立，进而证明出m=k+1时，（1+x）^m≥1+mx也成立，即可得到对于任意正整数m：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx．

解答 证明：（ⅰ）当n=2时，3²＞2+3原不等式成立；
（ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即3^k＞k+3，
则当n=k+1时，3^k+1＞3k+9＞k+4，
所以当n=k+1时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数n，不等式都成立．

点评 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．