Question

5．设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，k是正常数，且对?x∈（0，+∞）恒有f[f（x）]=kx成立
（1）若f（x）是在（0，+∞）上的增函数，且k=1，求证f（x）=x；
（2）对?x₁，x₂∈（0，+∞），当x₂＞x₁时，有f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，若k=2，证明：$\frac{4}{3}$＜$\frac{f（x）}{x}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）在R上是增函数，且f[f（x）]=x，所以要证f（x）=x，只要排除f（x）＞x，和f（x）＜x的情况即可；
（2）先根据该问的条件判断出f（x）在（0，+∞）上是增函数，可以求出f（x）=$\frac{3}{2}x$时，f（$\frac{3}{2}x$）=$\frac{9}{4}x＞2x$，所以f（x）的值应小于$\frac{3}{2}x$，所以得出$\frac{f（x）}{x}＜\frac{3}{2}$，而同样的办法可得出$\frac{f（x）}{x}＞\frac{4}{3}$，这样便可得到要证明的结论．

解答 证明：（1）f[f（x）]=x，∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴若f（x）＜x，则f[f（x）]＜f（x），即x＜f（x），显然这种情况不存在；
同样可判断f（x）＞x的情况不存在；
∴f（x）=x；
（2）由已知条件即知f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若f（x）=$\frac{3}{2}x$，则f（$\frac{3}{2}x$）=$\frac{9}{4}x$＞2x；
∴$f（x）＜\frac{3}{2}x$，x＞0；
∴$\frac{f（x）}{x}＜\frac{3}{2}$；
同理可得$\frac{f（x）}{x}＞\frac{4}{3}$；
∴$\frac{4}{3}＜\frac{f（x）}{x}＜\frac{3}{2}$．

点评 考查增函数的定义，以及对增函数定义的运用．