Question

18．在△ABC中，满足∠A=$\frac{π}{2}$，M是BC边上的一点．
（Ⅰ）若∠B=$\frac{π}{4}$，求向量$\overrightarrow{AB}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{AB}$的正弦值；
（Ⅱ）若∠B=$\frac{π}{3}$，|AB|=m（m为正常数），且M是BC边上的三等分点，求$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AM}$；
（Ⅲ）若|$\overrightarrow{AM}$|=3，且$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AM}$=3，求|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AM}$|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据两向量夹角的余弦公式，先求向量$\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{AB}$的余弦值：根据条件，容易得到$（\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AB}={\overrightarrow{AB}}^{2}$，$|\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AC}|=2|\overrightarrow{AB}|$，从而带入求向量夹角的余弦公式即可，从而便能求出这两向量的正弦值；
（Ⅱ）根据条件可求得|BC|=2m，所以进行数量积的运算即可；
（Ⅲ）可设∠CAM=α，从而根据条件及数量积的运算可得到$|\overrightarrow{AC}|=\frac{1}{cosα}，|\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{2sinα}$，所以便得到$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AM}）^{2}$=$\frac{1}{4ta{n}^{2}α}+ta{n}^{2}α+\frac{77}{4}≥\frac{81}{4}$，并且当tan$α=\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，所以便求出了$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AM}|$的最小值．

解答 解：如图，

（Ⅰ）若∠B=$\frac{π}{4}$，则$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$；
∴$（\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AB}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$，$|\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AC}|=\sqrt{（\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AC}）^{2}}$=$2|\overrightarrow{AB}|$，设向量$\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{AB}$夹角为θ；
则：cosθ=$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AB}|}=\frac{1}{2}$，∴sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（Ⅱ）若∠B=$\frac{π}{3}$，|AB|=m，则|BC|=2m；
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}•（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}）$=$2{m}^{2}•（-\frac{1}{2}）+\frac{4}{3}{m}^{2}=\frac{1}{3}{m}^{2}$；
（Ⅲ）设∠CAM=α，则∠BAM=$\frac{π}{2}-α$，0＜α＜$\frac{π}{2}$；
根据已知条件$\left\{\begin{array}{l}{3|\overrightarrow{AC}|cosα=3}\\{6|\overrightarrow{AB}|sinα=3}\end{array}\right.$；
∴$|\overrightarrow{AC}|=\frac{1}{cosα}，|\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{2sinα}$；
∴$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AM}）^{2}={\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}$$+9+3+6=\frac{1}{4si{n}^{2}α}+\frac{1}{co{s}^{2}α}+18$
=$\frac{1}{4}+\frac{1}{4ta{n}^{2}α}+ta{n}^{2}α+1+18$$≥\frac{81}{4}$，当且仅当tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取“=”；
∴$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AM}|$的最小值为$\frac{9}{2}$．

点评 考查两向量夹角的余弦公式，数量积的运算，求向量$\overrightarrow{a}$的长度：$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}$，线段三等分点的概念，要求|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|的最小值，先求$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）^{2}$的最小值，基本不等式的运用．