Question

8．设等差数列{a_n}满足a₁=1，a_n＞0（n∈N^*），其前n项和为S_n，若数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}也为等差数列，则$\frac{{S}_{n+10}}{{{a}_{n}}^{2}}$的最大值是（　　）

• A． 310
• B． 212
• C． 180
• D． 121

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，a₁=1，a_n＞0（n∈N^*），利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得：a_n=1+（n-1）d，S_n=$\frac{n[1+1+（n-1）d]}{2}$．由于数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}也为等差数列，可得2$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{3}}$，代入解出d，可得$\frac{{S}_{n+10}}{{{a}_{n}}^{2}}$关于n的数列，利用其单调性即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，a₁=1，a_n＞0（n∈N^*），
∴a_n=1+（n-1）d，S_n=$\frac{n[1+1+（n-1）d]}{2}$．
∴$\sqrt{{S}_{1}}$=1，$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{2+d}$，$\sqrt{{S}_{3}}$=$\sqrt{3+3d}$，
∵数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}也为等差数列，
∴2$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{3}}$，
∴$2\sqrt{2+d}$=1+$\sqrt{3+3d}$，
化为（d-2）²=0，解得d=2．
∴a_n=2n-1，S_n=n²．
∴$\frac{{S}_{n+10}}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{（n+10）^{2}}{（2n-1）^{2}}$=$（\frac{1}{2}+\frac{21}{4n-2}）^{2}$，
∵数列$\{（\frac{1}{2}+\frac{21}{4n-2}）^{2}\}$单调递减，
∴$\frac{{S}_{n+10}}{{{a}_{n}}^{2}}$的最大值是$\frac{{S}_{11}}{{a}_{1}^{2}}$=121．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．