Question

16．下列四个命题
①已知命题P：?x∈R，x²+x＜0，则?P：?x∈R，x²+x＜0；
②$y={x^2}-{（{\frac{1}{2}}）^x}$的零点所在的区间是（1，2）；
③若实数x，y满足xy=1，则x²+2y²的最小值为$2\sqrt{2}$；
④设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a?α，b⊥β，α∥β是a⊥b的充分条件；
其中真命题的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①利用命题的否定定义即可判断出正误；
②分别画出y=x²与y=$（\frac{1}{2}）^{x}$的图象，可知：函数$y={x^2}-{（{\frac{1}{2}}）^x}$的零点有两个，再利用函数零点存在定理即可判断出；
③利用基本不等式的性质即可判断出正误；
④利用面面平行的性质、线面垂直的性质定理即可判断出正误．

解答 解：①由命题P：?x∈R，x²+x＜0，则?P：?x∈R，x²+x≥0，因此不正确；
②$y={x^2}-{（{\frac{1}{2}}）^x}$，分别画出y=x²与y=$（\frac{1}{2}）^{x}$的图象，可知：函数$y={x^2}-{（{\frac{1}{2}}）^x}$的零点有两个：一个零点在区间（0，1），另一个零点-2，因此不正确；
③若实数x，y满足xy=1，则x²+2y²≥$2\sqrt{2xy}$=$2\sqrt{2}$，当且仅当x=$\sqrt{2}$y时取等号，其最小值为$2\sqrt{2}$，正确；
④∵a?α，b⊥β，α∥β，利用面面平行的性质、线面垂直的性质定理可得：a⊥b，反之不成立，因此a?α，b⊥β，α∥β是a⊥b的充分条件，正确．
其中真命题的个数为2．
故选：C．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的零点、基本不等式的性质、面面平行的性质、线面垂直的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．