Question

6．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂渐近线分别为l₁，l₂，位于第一象限的点P在l₁上，若l₂⊥PF₁，l₂∥PF₂，则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，渐近线分别为l₁，l₂，点P在第一 象限内且在l₁上，知F₁（-c，0）F₂（c，0）P（x，y），由渐近线l₁的直线方程为y=$\frac{b}{a}$x，渐近线l₂的直线方程为y=-$\frac{b}{a}$x，l₂∥PF₂，知ay=bc-bx，由ay=bx，知P（$\frac{c}{2}$，$\frac{bc}{2a}$），由此能求出离心率．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，
渐近线分别为l₁，l₂，点P在第一 象限内且在l₁上，
∴F₁（-c，0）F₂（c，0）P（x，y），
渐近线l₁的直线方程为y=$\frac{b}{a}$x，渐近线l₂的直线方程为y=-$\frac{b}{a}$x，
∵l₂∥PF₂，∴$\frac{y}{x-c}=-$$\frac{b}{a}$，即ay=bc-bx，
∵点P在l₁上即ay=bx，
∴bx=bc-bx即x=$\frac{c}{2}$，∴P（$\frac{c}{2}$，$\frac{bc}{2a}$），
∵l₂⊥PF₁，
∴$\frac{\frac{bc}{2a}}{\frac{3c}{2}}•（-\frac{b}{a}）=-1$，即3a²=b²，
∵a²+b²=c²，
∴4a²=c²，即c=2a，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=2．
故选C．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线和双曲线位置关系的灵活运用．