Question

6．设数列2${\;}^{lo{g}_{a}b}$，4${\;}^{lo{g}_{a}b}$，8${\;}^{lo{g}_{a}b}$，…，（2ⁿ）${\;}^{lo{g}_{a}b}$，…（a，b为大于0的常数，且a≠1）
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若数列又为等差数列，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由对数的运算可得$\frac{（{2}^{n+1}）^{lo{g}_{a}b}}{（{2}^{n}）^{lo{g}_{a}b}}$=${2}^{lo{g}_{a}b}$，可得数列为公比q=${2}^{lo{g}_{a}b}$的等比数列；
（2）由题意可得2${\;}^{lo{g}_{a}b}$=4${\;}^{lo{g}_{a}b}$，由对数的性质可得b值．

解答 解：（1）由题意可得a_n=（2ⁿ）${\;}^{lo{g}_{a}b}$，∴a_n+1=（2ⁿ⁺¹）${\;}^{lo{g}_{a}b}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（{2}^{n+1}）^{lo{g}_{a}b}}{（{2}^{n}）^{lo{g}_{a}b}}$=${2}^{（n+1）lo{g}_{a}b-nlo{g}_{a}b}$=${2}^{lo{g}_{a}b}$，为与n无关的常数，
∴数列为公比q=${2}^{lo{g}_{a}b}$的等比数列；
（2）∵数列又为等差数列，∴2${\;}^{lo{g}_{a}b}$=4${\;}^{lo{g}_{a}b}$，
∴log_ab=2log_ab，∴log_ab=0，∴b=1

点评 本题考查等差数列和等比数列，涉及对数的运算，属基础题．