Question

11．设函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=$\frac{f′（1）}{e}$e^x-f（0）x+$\frac{1}{2}$x²（e是自然对数的底数）．
（1）求f（0）和f′（1）的值；
（2）若g（x）=$\frac{1}{2}$x²+a与函数f（x）的图象在区间[-1，2]上恰有2两个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{f′（1）}{e}$e^x-f（0）x+$\frac{1}{2}$x²，可得f′（x）=$\frac{{f}^{′}（1）}{e}{e}^{x}-f（0）$+x，令x=1，可得f（0），进而得到f′（1）．
（2）g（x）=$\frac{1}{2}$x²+a与函数f（x）的图象在区间[-1，2]上恰有2两个不同的交点?y=a与h（x）=$\frac{1}{e}{e}^{x}$-x在x∈[-1，2]上有两个不同交点．利用导数研究函数h（x）的单调性极值与最值，结合图象即可得出．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{f′（1）}{e}$e^x-f（0）x+$\frac{1}{2}$x²，
∴f′（x）=$\frac{{f}^{′}（1）}{e}{e}^{x}-f（0）$+x，
∴f′（1）=f′（1）-f（0）+1，
∴f（0）=1，
∴f（x）=$\frac{f′（1）}{e}$e^x-x+$\frac{1}{2}$x²，
∴f（0）=f′（1）-0+0，
∴f′（1）=1．
（2）由（1）可得：f（x）=$\frac{1}{e}{e}^{x}$-x+$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
由g（x）=$\frac{1}{2}$x²+a=f（x），化为a=$\frac{1}{e}{e}^{x}$-x=h（x），x∈[-1，2]．
∴h′（x）=$\frac{{e}^{x}}{e}-1$=$\frac{{e}^{x}-e}{e}$，
令h′（x）＞0，解得1＜x＜2，此时函数h（x）单调递增；令h′（x）＜0，解得-1＜x＜1，此时函数h（x）单调递减．
∴当x=1时，函数h（x）取得最小值，h（1）=0．而h（-1）=$\frac{1}{{e}^{2}}+1$，h（2）=e-2．
∵g（x）=$\frac{1}{2}$x²+a与函数f（x）的图象在区间[-1，2]上恰有2两个不同的交点，
∴0＜a＜e-2．
∴实数a的取值范围是（0，e-2）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．