Question

16．已知抛物线G：x²=2py（p＞0）上一点R（m，4）到其焦点的距离为$\frac{17}{4}$．
（Ⅰ）求p与m的值；
（Ⅱ）设抛物线G上一点P的横坐标t，过点P引斜率为-1的直线l交抛物线G于另一点A，交x轴于点B，若|OA|=|OB|（O为坐标原点），求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线方程得其准线方程，进而根据抛物线定义可知点A（m，4）到焦点的距离等于它到准线的距离，求得p，则抛物线方程可得，把点A代入抛物线方程即可求得m；
（Ⅱ）设P（t，t²），直线l：y-t²=-（x-t），令y=0，可得B的坐标，再代入抛物线方程可得A的坐标，再由两点的距离公式，计算即可得到t=-1，进而得到P的坐标．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线G：x²=2py（p＞0）得其准线方程：y=-$\frac{p}{2}$，
根据抛物线定义，点R（m，4）到焦点的距离等于它到准线的距离，
即4+$\frac{p}{2}$=$\frac{17}{4}$，解得p=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线方程为：x²=y，
将R（m，4）代入抛物线方程，解得m=±2，
检验p=$\frac{1}{2}$，m=±2；
（Ⅱ）设P（t，t²），直线l：y-t²=-（x-t），
令y=0，可得x=t²+t，即有B（t²+t，0），
将y=t²+t-x代入抛物线方程y=x²，可得
x²+x-t-t²=0，解得x=-1-t或t，
则有A（-1-t，（1+t）²），
由|OA|=|OB|，即为$\sqrt{（1+t）^{2}+（1+t）^{4}}$=|t+t²|，
化简可得t=-1，
则点P的坐标为（-1，1）．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意定义的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，求交点，考查运算能力，属于中档题．