Question

19．函数f（x）=2^|x|，对于任意的实数k，定义函数g_k（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≥k}\\{{x}^{2}+2（k-4）x+（k-4）（k-3），f（x）＜k}\end{array}\right.$．
（1）若k=4，求g_k（x）的单调增区间；
（2）是否存在实数k，使g_k（x）在区间（0，+∞）为增函数，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）代入k=4化简得g₄（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x|}，x≥2或x≤-2}\\{{x}^{2}，-2＜x＜2}\end{array}\right.$；从而求单调增区间；
（2）f（x）=2^|x|的取值范围，分k≤1与k＞1讨论，再分别求单调增区间即可．

解答 解：（1）当k=4时，g₄（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x|}，x≥2或x≤-2}\\{{x}^{2}，-2＜x＜2}\end{array}\right.$；
由二次函数及指数函数的性质知，
g₄（x）的单调增区间为[0，+∞）；
（2）当k≤1时，f（x）=2^|x|≥k恒成立，
故g_k（x）=f（x）=2^|x|，
故g_k（x）在区间（0，+∞）为增函数，
当k＞1时，
当f（x）=2^|x|≥k，即x≥log₂k或x≤-log₂k时，
g_k（x）在区间[log₂k，+∞）为增函数，
当f（x）=2^|x|＜k，即-log₂k＜x＜log₂k时，
则若使g_k（x）在区间（0，log₂k）上是增函数，
则-$\frac{2（k-4）}{2}$≤0，
即k≥4；
若使g_k（x）在区间（0，+∞）为增函数，
则还需使$lo{{g}_{2}}^{2}k$+2（k-4）log₂k+（k-4）（k-3）≤k；
即（log₂k+k-6）（log₂k+k-2）≤0，
故2≤log₂k+k≤6；
又∵k≥4，
∴k=4；
综上所述，
k的取值范围为（-∞，1]∪{4}．

点评 本题考查了分段函数与绝对值函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．