Question

11．已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|
①当a=-3时，求不等式f（x）≥3的解集；
②f（x）≤|x-4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 ①不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{3-x+2-x≥3\\;}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{2＜x＜3}\\{3-x+x-2≥3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{x-3+x-2≥3}\end{array}\right.$，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．
②原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．

解答 解：（1）当a=-3时，f（x）≥3 即|x-3|+|x-2|≥3，即
$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{3-x+2-x≥3\\;}\end{array}\right.$，可得x≤1；
$\left\{\begin{array}{l}{2＜x＜3}\\{3-x+x-2≥3}\end{array}\right.$，可得x∈∅；
$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{x-3+x-2≥3}\end{array}\right.$，可得x≥4．
取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．
（2）原命题即f（x）≤|x-4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2-x≤4-x在[1，2]上恒成立，
等价于|x+a|≤2，等价于-2≤x+a≤2，-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立．
故当 1≤x≤2时，-2-x的最大值为-2-1=-3，2-x的最小值为0，
故a的取值范围为[-3，0]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．