Question

5．已知函数f（x）及g（x）（x∈D），若对于任意的x∈D，存在x₀，使得f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀）恒成立且f（x₀）=g（x₀），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”，已知函数f（x）=x²+px+q（p，q∈R），g（x）=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x}$是定义在区间[$\frac{1}{2}$，2]上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值为2．

Answer 1

分析 化简g（x）=x+$\frac{1}{x}$-1，从而由基本不等式可判断g（x）在x=1处取得最小值1；从而可知f（x）在x=1处取得最小值1，再由二次函数的顶点式写出f（x）=（x-1）²+1，从而求函数的最大值．

解答 解：∵g（x）=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$-1≥2-1=1；
（当且仅当x=$\frac{1}{x}$，即x=1时，等号成立）
∴g（x）在x=1处取得最小值1；
又∵f（x）与g（x）是定义在区间[$\frac{1}{2}$，2]上的“兄弟函数”，
∴f（x）在x=1处取得最小值1；
∴f（x）=x²+px+q=（x-1）²+1；
又∵|$\frac{1}{2}$-1|＜|2-1|，
∴f_max（x）=f（2）=1+1=2；
故答案为：2．

点评 本题考查了学生对新定义的接受与转化能力，同时考查了基本不等式的应用及二次函数的性质应用，属于中档题．