Question

13．已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=$\frac{2}{a}$，∠BAC=120°，若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，则3x+6y的最小值为$6+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据几何图形求解出O点的坐标，先求出$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的坐标，再由$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，运用向量的坐标相等求解出x，y的值，得出3x+6y=$\frac{1}{{a}^{2}}+2{a}^{2}+6$，运用基本不等式求解即可得出最小值．

解答 解：根据题意，建立坐标系如图，过O作AB的垂直平分线，垂足为E，
则A（0，0），C（$\frac{2}{a}$，0），B（-a，$\sqrt{3}a$），E（$-\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$），O（$\frac{1}{a}$，m），
∵∠BAC=120°，∴$\frac{m-\frac{\sqrt{3}a}{2}}{\frac{1}{a}+\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
化简得$m=\frac{\sqrt{3}}{3a}+\frac{2\sqrt{3}a}{3}$，∴O（$\frac{1}{a}$，$\frac{\sqrt{3}}{3a}+\frac{2\sqrt{3}a}{3}$），
∴$\overrightarrow{AC}=（\frac{2}{a}，0）$，$\overrightarrow{AB}=（-a，\sqrt{3}a）$，$\overrightarrow{AO}=（\frac{1}{a}，\frac{\sqrt{3}}{3a}+\frac{2\sqrt{3}a}{3}）$，
∵$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}=-ax+\frac{2y}{a}}\\{\frac{\sqrt{3}}{3a}+\frac{2\sqrt{3}a}{3}=\sqrt{3}xa}\end{array}\right.$
解得$x=\frac{1}{3{a}^{2}}+\frac{2}{3}$，$2y=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}{a}^{2}$，
∴3x+6y=3（$\frac{1}{3{a}^{2}}+\frac{2}{3}+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}{a}^{2}$）
=$\frac{1}{{a}^{2}}+2{a}^{2}+6$
≥$2\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}×2{a}^{2}}$+6
=6+$2\sqrt{2}$，
故答案为：$6+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算，结合基本不等式求解，属于中档题，关键是准确求解向量的坐标．