Question

3．过曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点F₁作曲线C₂：x²+y²=a²的切线，设切点为M，延长F₁M交曲线C₃：y²=2px（p＞0）于点N，其中曲线C₁与C₃有一个共同的焦点，若|MF₁|=|MN|，则曲线C₁的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{5}$-1
• C． $\sqrt{5}$+1
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为F₁F₂的中点，M为F₁N的中点，可得OM为△NF₁F₂的中位线，从而可求|NF₁|，再设N（x，y） 过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．

解答 解：设双曲线的右焦点为F₂，则F₂的坐标为（c，0）
因为曲线C₁与C₃有一个共同的焦点，所以y²=4cx
因为O为F₁F₂的中点，M为F₁N的中点，所以OM为△NF₁F₂的中位线，
所以OM∥NF₂，
因为|OM|=a，所以|NF₂|=2a
又NF₂⊥NF₁，|FF₂|=2c 所以|NF₁|=2b
设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，
∴x=2a-c
过点F₁作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²，即4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
得e²-e-1=0，
∴e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故选：D

点评 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．