Question

14．设函数f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中实数a≠0．若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，则实数的取值范围是（-∞，-3]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导函数，对a分类得到函数f（x）的单调性，由a＞0和a＜0可得函数g（x）的单调性，然后根据f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数列关于a的不等式组，求解不等式组可得实数a的取值范围．

解答 解：∵${f}^{′}（x）=3{x}^{2}+2ax-{a}^{2}=3（x-\frac{a}{3}）（x+a）$，
若a＞0，当x＜-a或x＞$\frac{a}{3}$时，f′（x）＞0；
当$-a＜x＜\frac{a}{3}$时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-a）和（$\frac{a}{3}，+∞$）内是增函数，在（$-a，\frac{a}{3}$）是减函数．
若a＜0，当x＜$\frac{a}{3}$或x＞-a时，f′（x）＞0；
当$\frac{a}{3}＜x＜-a$时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）和（-a，+∞）内是增函数，在（$\frac{a}{3}，-a$）是减函数．
∵$g（x）=a（x-\frac{1}{a}）^{2}+a-\frac{1}{a}$，
当a＞0时，f（x）在（-∞，-a）和（$\frac{a}{3}，+∞$）内是增函数，g（x）在$（\frac{1}{a}，+∞）$内是增函数，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥\frac{a}{3}}\\{a≥\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，解得a≥1；
当a＜0时，f（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）和（-a，+∞）内是增函数，g（x）在$（-∞，\frac{1}{a}）$内是增函数，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a+2≤\frac{a}{3}}\\{a+2≤\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，解得a≤-3．
综上可知，实数a的取值范围为（-∞，-3]∪[1，+∞）．
故答案为：（-∞，-3]∪[1，+∞）．

点评 本题考查了函数单调性的性质，考查了利用导数研究函数的单调性，正确分类是解决该题的关键，是中档题．