Question

3．设正实数a、b、c、d，满足abcd=1，证明：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{d}$+$\frac{9}{a+b+c+d}$≥$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 设$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{d}$+$\frac{9}{a+b+c+d}$=k，两边同乘以（a+b+c+d），利用基本不等式，结合abcd=1，即可证明结论．

解答 证明：设$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{d}$+$\frac{9}{a+b+c+d}$=k，则两边同乘以（a+b+c+d），得：
k（a+b+c+d）
=1+$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{d}{a}$+$\frac{a}{b}$+1+$\frac{c}{b}$+$\frac{d}{b}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$+1+$\frac{d}{c}$+$\frac{a}{d}$+$\frac{b}{d}$+$\frac{c}{d}$+1+9
=13+（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{d}{a}$+$\frac{a}{d}$）+（$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$）+（$\frac{d}{b}$+$\frac{b}{d}$）+（$\frac{d}{c}$+$\frac{c}{d}$）
∴当$\frac{b}{a}$=$\frac{a}{b}$、$\frac{c}{a}$=$\frac{a}{c}$、$\frac{d}{a}$=$\frac{a}{d}$、$\frac{c}{b}$=$\frac{b}{c}$、$\frac{d}{b}$=$\frac{b}{d}$、$\frac{d}{c}$=$\frac{c}{d}$时，k（a+b+c+d）有最小值．
且最小值为：13+2+2+2+2+2+2=25．
当$\frac{b}{a}$=$\frac{a}{b}$、$\frac{c}{a}$=$\frac{a}{c}$、$\frac{d}{a}$=$\frac{a}{d}$、$\frac{c}{b}$=$\frac{b}{c}$、$\frac{d}{b}$=$\frac{b}{d}$、$\frac{d}{c}$=$\frac{c}{d}$时，容易得到：a=b=c=d．
又abcd=1，∴此时a=b=c=d=1，得：a+b+c+d=4．
∴k（a+b+c+d）≥25，∴4k≥25，∴k≥$\frac{25}{4}$．　
即：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{d}$+$\frac{9}{a+b+c+d}$≥$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，设$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{d}$+$\frac{9}{a+b+c+d}$=k，两边同乘以（a+b+c+d），利用基本不等式是关键．