Question

17．已知函数f′（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax．
（1）若f（x）在区间[1，+∞）单调递增，求a的最小值；
（2）若g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，对?x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，?x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f′（x₁）≤g（x₂）成立，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）若f（x）在区间[1，+∞）单调递增，转化为f′（x）=x²+2x+a≥0在区间[1，+∞）上恒成立，利用一元二次函数的性质即可求a的最小值；
（2）对?x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，?x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f′（x₁）≤g（x₂）成立，等价为[f′（x）]_max≤g（x）_max，利用导数求出函数的最值即可．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=x²+2x+a，
若f（x）在区间[1，+∞）单调递增，
则等价为f′（x）=x²+2x+a≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
即a≥-x²-2x=-（x+1）²+1在区间[1，+∞）上恒成立，
设y=-x²-2x=-（x+1）²+1在[1，+∞）上单调递减，
则函数y的最大值为-3，
即a≥-3，
即a的最小值是-3；
（2）对?x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，?x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f′（x₁）≤g（x₂）成立，
则等价为[f′（x）]_max≤g（x）_max，
∵f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1在[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，
∴[f′（x）]_max=[f′（2）]=8+a，
∵g′（x）=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{{e}^{2x}}=\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴g（x）在（-∞，1]上单调递增，则[1，+∞）上单调递减，
∴在[$\frac{1}{2}$，2]上g（x）_max=g（1）=$\frac{1}{e}$，
∴8+a≤$\frac{1}{e}$，
即a≤$\frac{1}{e}$-8．

点评 本题主要考查函数单调性的应用以及函数最值的求解，根据条件将不等式进行转化，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．